x <- rnorm(30)
y <- x^2 + x + rnorm(30)
reg1 <- lm(y ~ x)
plot(x,y)
abline(reg1$coef)
#diagnosztikai ábrák:
plot(x,reg1$resid)
plot(reg1$fitted,reg1$resid)
# parabolának néz ki... gyanús!
# hiányzik még tag a regresszióból.
# próba: y = a + bx + c x^2 + hiba
reg2 <- lm(y ~ x + I(x^2))
# I(): identitás függvény
# lm() hasában a műveleti jelek mást 
# jelentenek; I() megőrzi az eredeti jelentést
# kb. + jel kivételével minden műveletre !
reg2
# hogyan rajzoljuk ki a regressziós görbét?
# y = a +bx + c x^2 parabola
plot(x,reg2$fitted)
plot(x,reg2$fitted,type="l")
# ha nem növekvő az x, keszekusza...
# order(x): index vektor, x[order(x)] növekvő
plot(x[order(x)],reg2$fitted[order(x)])
plot(x[order(x)],reg2$fitted[order(x)],type="l")
# tetszőleges alappontokban a fitted függvényt?
z <- seq(-2.5,2.5,0.1)
# f <- reg2$coef[1] + reg2$coef[2] * x 
# + reg2$coef[3] * x^2
# predict() függvény: új x adatokra a becsült függvény
# alapján kiszámolja hozzá az y becslést
# új x-ek: data.frame formájában
f <- predict(reg2,newdata=data.frame(x=z))
plot(x,y)
lines(z,f)
plot(x,reg2$resid)
# most már rendszertelen, minden tagot figyelembe vettünk
summary(reg2)
# t-teszt alapján: konstans tag 0 akar lenni
# jelenleg: generálásból is tudjuk, nem kell + konstans
# új modell, konstans nélkül
reg3 <- lm(y ~ 0+x+I(x^2) )
reg3
plot(x,y)
points(x,reg3$fitted,col="red")
plot(x,reg3$resid)
summary(reg3)

# 2 regressziós modell összehasonl0óítása:
# anova : analysis of variance
# olyan modellekre van értelme, ahol az egyik részmodellje
# a másiknak: néhány változó/tag elhagyásával kapunk
# részmodellt
# példánkban: reg2-nek részmodellje reg1, és reg3 is
# de reg1, reg3 között nincs ilyan kapcsolat
anova(reg1,reg2)
# RSS: residual sum of squares:
# hibák négyzetösszege, kisebb jobb
# de: számottevő-e a különbség, megéri-e a plusz változót?
# F-próba: F: F-statisztika, Pr(..): p-value
# H0: kb. ekvivalens a két modell, H1: lényeges különbség
# nagy p-value esetén H0
# most: kis p-value, lényeges különbség, megéri a komplexebb
# modellt használni
# statisztikailag "bizonyítottuk": reg2 modell jobb, mint 
# a reg1 modell
anova(reg2,reg3)
# itt: nagy p-value, kb. ekvivalens,
# ezért megérte egyszerűsíteni a modellt

a <- rnorm(30)
b <- rnorm(30)
c <- 2 *a -b + rnorm(30)
reg4 <- lm(c ~ a + b)
reg4