# varhato ertek vizsgalata: t-proba, t-test
x <- rnorm(50)
mean(x)
# statisztikai pelda: x betegek vernyomas valtozasa egy 
# gyogyszer beadasa utan
# latunk egy nem 0 atlagot
# ez most a veletlen muve, vagy a gyogyszer hatasa?
# tenyleges v.e. =? 0

# Student t -eloszlas:
# df = 1,2,.... , Inf
z <- seq(-3,3,0.1)
plot(z,dt(z,df=1),type="l",ylim=c(0,0.4))
lines(z,dt(z,df=5),col="blue")
lines(z,dt(z,df=50),col="red")
lines(z,dt(z,df=Inf),col="purple")

# hamis negativ eselye es hamis pozitiv eselye ellentetesen mozog
# kompromisszum: elore megszabjuk hamis negativ eselyet
# nagyobb minta meretre mindketto csokken
# hamis negativ eselye: 10%, 5%, 1% - minta merettol is fugg
# es a felhasznalastol is
# kis mintameretre 10%, most peldaban 10%

# n = 50
plot(z,dt(z,df=49),type="l")
qt(c(0.05,0.95),df=49)
abline(v=qt(c(0.05,0.95),df=49))

tt <- t.test(x)
tt
tt$stat
abline(v=tt$stat,col="blue")
x.tstat <- tt$stat
# eo-fuggvenybe helyettesites:
# megmutatja, mekkora esellyel kisebb ennel
# az erteknel a Student t eloszlas
pt(x.tstat,df=49)
2*pt(x.tstat,df=49)
1-pt(x.tstat,df=49)
2*(1-pt(x.tstat,df=49))
min(2*pt(x.tstat,df=49),2*(1-pt(x.tstat,df=49)))
tt$p.value
# ha kenyszeritem, hogy t-stat kritikus 
# tartomanybe essen:
# ha t-stat-nal es -t-stat-nal huznam meg a
# kritikus tartomany hatarat, akkor 
# p-value lenne a hamis negativ eselye
# ha erre a t-stat-ra H1-t tippelek, p-value
# mondja meg, akkor mennyi lenne a hamis negativ
# eselye -- ebben az esetben mi az eselye, hogy
# ezt a "hamis negativ" hibat vetem
# ha azt fixaltuk, hogy max 10% ~ 0.1 hamis negativ:
# ha p.value > 10%, akkor H0-t kell tippelnem
# ha p.value < 10%, ekkore hiba meg belefer,
# akkor H1-t tippelek. 
# "szignifikans" az eredmeny, szignifikans az
# elteres a 0-tol.

## pl p-value = 0.46 > 0.1 -> H0, 
# v.e.=0-t hisszuk el

# hamis negativ eselye 10%
for (i in 1:30) {
	y <- rnorm(50) ;
	abline(v=t.test(y)$stat,lty=2)
}
# esetek 10%-aban, amikor 0 a v.e.,
# veletlen folytan megis kiugro az atlag,
# es nem hisszuk el rola, hogy 0 volt a v.e.
# azaz "hamis negativ" (H0-t nem hisszuk el)

y <- rnorm(50,mean=0.5)
v <- rnorm(50,mean=2)
w <- rnorm(50,mean=0.1)

t.test(y)
t.test(w)
# w sorsolasunkban: p-value 0.22 > 0.1
# avagy H0-t tippelek -> w "hamis pozitiv"
# mennyire kozel kaphatunk hamis pozitivat?
# szorastol is fugg.
t.test(v)