# t-teszt, t-proba
x <- rnorm(30)
y <- rnorm(30) + 3
mean(x)
mean(y)
# atlag kb egyenlo v.e.
# statisztikaban neha kerdes, hogy ha 
# nem 0 atlagot latok, az csak a vetletlen
# muve, vagy tenyleges hatas 
# pl gyogyszernel
# t-proba: feltesszuk, hogy normalis 
# eloszlasuak az adatok
# kerdes: 0-e a varhato ertek?
# statisztikai teszt: "fogadas"
# H0: "nullhipotezis" v.e. = 0
# H1: "ellenhipotezis": v.e. =/= 0
# szeretnenk minel nagyobb esellyel 
# eltalalni az igazsagot

# Student t-eloszlás
# kötelező paraméter: szabadsági fok 
# df= pozitív egész, pozitív valós, 
# vagy Inf
z <- seq(-4,4,0.1)
plot(z,dt(z,df=1),type="l",ylim=c(0,0.5))
lines(z,dt(z,df=5),col="blue")
lines(z,dt(z,df=20),col="red")
lines(z,dt(z,df=Inf),col="green")

# ha H0 igaz, akkor X_i eloszlas ismert
# akkor a t-stat t(X1,...,Xn) eloszlasa is
# ismert: Student t, df=n-1
# peldankban: n =30 , t stat t(df=29)
# elore megszabjuk: hamis negativ eselye 10%
# ehhez "dobunk el" 5-5%-ot:
plot(z,dt(z,df=29),type="l")
qt(c(0.05,0.95),df=29)
abline(v=qt(c(0.05,0.95),df=29))
# berajzolt vonalakról kifelé görbe alatti
# terület 5-5%-a
# két vonal között H0-ra tippelünk
# kívül H1-re
# így lesz a hamis negatív esélye össz. 10%

tt <- t.test(x)
tt
tt$stat
abline(v=tt$stat,col="red")
pt(tt$stat,df=29)
2*pt(tt$stat,df=29)
tt$p.value
# vegyuk eszre: ha pt < 0.5, akkor 
# p.value = 2$pt
# kulonben p.value = 2(1-pt)
# p.value azt mutatja, ha erre a futasra
# azt tippelem, hogy H1, akkor p.value a 
# hamis negativ eselye
# ha p.value < 0.1, az elore kiszemelt
# hiba valoszinusegem,
# akkor H1-t tippelek,
# ha p.value > 0.1, az mar tul nagy hiba,
# akkor H0-t tippelek.
# ha H1-t tippelek: eredmeny "szignifikans":
# akkor hisszuk azt, hogy a nem 0 atlag
# nem csak a veletlen eredmenye
# gyogyszeres peladaban: a vernyomascsokkenes
# nem csak a veletlen muve, hanem a gyogyszere
# gyakorlatban H1-nek orulunk

# 10% hamis negatív: ha x, 0 ve-u vektort
# ujrageneralom sokszor, az esetek kb
# 10%-aban a t-stat a kritikus tartományba 
# esik, azaz nem fogom elhinni, hogy
# 0 v.e.
plot(z,dt(z,df=29),type="l")
abline(v=qt(c(0.05,0.95),df=29))
for (i in 1:20) {
	x <- rnorm(30) ; 
	abline(v=t.test(x)$stat,col="blue",lty=2)
}
# hamis negativ: a fekete vonalakon kivuliek
abline(v=t.test(y)$stat,col="purple")
t.test(y)$stat