x <- round(runif(30))
y <- round(runif(30))
z <- x + y
df <- data.frame(x=x,y=y,z=z)
# generalasbol adodoan: x es y fuggetlen
# de x,z fuggo es y,z szinten fuggo
table(x)
table(x,y)
table(x,z)
# vannak ures cellak, 
# tendencia: kis x-hez kis z, 
# nagy x-hez nagy z
# "latszik" a fuggoseg
chisq.test(x,z) -> teszt
# teszt: komplex objektum
# statisztika erteke
chisq <- teszt$stat
# parameter(ek):
szabadsagi.fok <- teszt$par
# milyen kvantilis, mennyire gyakori ertek
# ebbol az eloszlasbol a kapott statisztika?
pchisq(chisq,df=2)
# eo-fv erteke: tole balra a 
# fuggveny alatti terulet ennyied resze
# tole jobbra mekkora terulet:
1 - pchisq(chisq,df=2)
teszt$p.value
# jelen peldaban: nagyon keves van 
# tole jobbra, nagyon kiugro ertek!
# ha fuggetlenek lennenek, khi^2 tipikusan 
# sokkal kisebb kene, hogy legyen.
# ezert elhisszuk, hogy fuggoek.

# tenyleges tszthez: elore eldontjuk, mekkora
# esellyel lehet "hamis negativ", 
# puszta veletlen folytan is 
# lehetnek kiugro ertekek!
# legyen elsofaju hiba, pl. p=0.1 ~ 10%
p <- 0.1

teszt$p.value < p
# ha kisebb: akokr hisszuk el a fuggoseget
# ha p.value nagy, akkor fuggetlenek

t <- seq(0,20,0.5)
plot(t,dchisq(t,df=2),type="l")
abline(v=chisq)
abline(v=qchisq(1-p,df=2),col="red")
# piros vonaltol jobbra: gorbe alatti 
# terulet 10%-a - -10% hibavaloszinuseg:
# ha a chisq stat ettol jobbra, akkor
# elhisszuk, hogy fuggoek
# 10% esellyel hamis negativ:
# fuggetlenseg eseten az esetek 10%-aban
# kaphatok ilyen kiugro ertket 
# a veletlen folytan is.
# "hamis negativ" hibavaloszinuseg: 
# kompromisszum, kulonben a "hamis pozitiv" 
# lesz nagyon gyakori
# "hamis pozitiv" eselyet nem tudjuk 
# szamszerusiteni 
# nagyobb mintara mindket hiba eselye csokken
# "haims negativ" eselye nagyobb mintara lehet
# kisebb: pl 5%, 1%

## masik pelda:
chisq.test(x,y)
# kicsi chi^2 ertek, nagy p.value
# ez fuggetlenseget jelentű

# folytonos fuggelenseg teszt
x <- rnorm(30)
v <- x + rnorm(30)
# x,v fuggo
y <- rnorm(30)+2
# x,y fuggetlen
# intervallumokra kell vagni, hogy legyen gyakorisg tabla!
xint <- cut(x,breaks=3)
# automatikusan szamolt, 3 intervallumra
vint <- cut(v,breaks=seq(-3,3,2))
# kezzel definialt torespontok
yint <- cut(y,breaks=2)
chisq.test(xint,vint)
# tipikusan: nagy chi^2, kis p, -> fuggoseg
chisq.test(xint,yint)
# tipikusan: kis chi^2, nagy p, -> fuggetlenseg