2. Interpolációs görbék

2.1. Az interpolációs feladat

Legyenek adottak a \(\textbf{p}_0, \textbf{p}_1, \ldots, \textbf{p}_n \in \mathbb{R}^D, n, D \in \mathbb{N}, n > 0\)! Keresünk egy olyan \(\textbf{r}(u)\) függvényt, amely esetében találhatunk olyan \(u_0, u_1, \ldots, u_n \in \mathbb{R}\) paraméterértékeket, amelyek esetében teljesül, hogy \(\textbf{r}(u_i) = \textbf{p}_i, \forall i \in [0, n]\).

Megjegyzés

  • A \(D\) a tér dimenzióját jelöli, amelyben a görbét keressük.

  • Az indexelést lehetne 1-től is kezdeni. Általánosságban nincs jelentősége. Itt azért 0 kezdőindex szerepelt, mert a továbbiakban is az lesz a jellemző.

  • Az interpolációs feladat általánosságban nem követeli meg, hogy paraméteres görbét keressünk. A következőkben is paraméteres görbékkel foglalkozunk, ez az oka, hogy így került felírásra az általános eset is.

  • A modellező szempontjából az interpoláció praktikusan azt jelenti, hogy a modellezendő alakzat néhány pontját adjuk meg, és azok alapján, az interpolációs függvény segítségével számíthatjuk ki a többit.

A szakirodalomban az interpoláló görbét, és az interpolációs pontokat elég gyakran egyaránt \(\textbf{p}\)-vel jelölik. Félreértést abban az esetben nem okoz, hogy ha tudjuk, hogy

  • a \(\textbf{p}_i\) egy pontsorozat \(i\) indexű elemét jelöli, míg

  • a \(\textbf{p}(u)\) egy vektor értékű függvény \(u\) pontban felvett értéke.

2.2. Lagrange interpoláció

Ebben az esetben a \(\textbf{p}(u)\) egy legfeljebb \(n\)-ed fokú polinomként keressük, vagyis az alábbi alakban:

\[\textbf{p}(u) = \textbf{a}_n u^n + \textbf{a}_{n-1} u^{n-1} + \cdots + \textbf{a}_1 u + \textbf{a}_0,\]

vagy röviden:

\[\textbf{p}(u) = \sum_{i=0}^n \textbf{a}_i u^i.\]

Tétel

Mindig van egyértelmű megoldása a problémának, hogy ha az interpolációs pontokhoz különböző \(u_i\) értékeket választunk.

Bizonyítás (konstruktív)

Adjunk meg a \(\textbf{p}_i\) interpolációs pontokhoz egy-egy \(u_i\) értéket! Ezen \(u_i\) értékekből felírhatunk

\[\begin{split}\textbf{u}_i = \begin{bmatrix} u_i^0 & u_i^1 & \cdots & u_i^n \\ \end{bmatrix}\end{split}\]

vektorokat. Vegyük észre, hogy \(\textbf{p}_i = \textbf{u}_i \cdot \textbf{a}\) teljesül \(\forall i \in [0, n]\)!

Ezek alapján felírható a következő mátrixos alak:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} u_0^0 & u_0^1 & \cdots & u_0^n \\ u_1^0 & u_1^1 & \cdots & u_1^n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_n^0 & u_n^1 & \cdots & u_n^n \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \textbf{a}_0 \\ \textbf{a}_1 \\ \vdots \\ \textbf{a}_n \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \textbf{p}_0 \\ \textbf{p}_1 \\ \vdots \\ \textbf{p}_n \\ \end{bmatrix},\end{split}\]

ahol az együtthatómátrix sorai az \(\textbf{u}_i\) vektorok.

Ahhoz, hogy létezzen, és egyértelmű megoldásunk legyen, az együtthatómátrix determinánsa nem lehet nulla. Vegyük észre, hogy az együtthatómátrix egy Vandermonde mátrix, amelynek a determinánsa

\[\prod_{j < i} (u_i - u_j)\]

formában számítható!

Abban az esetben, hogy ha minden interpolációshoz ponthoz választott \(u\) értékünk különböző, akkor a determináns biztosan nem lesz 0, így van egyértelmű megoldásunk. \(\square\)

Lásd még

2.2.1. Lagrange féle interpolációs polinom

Legyenek adottak \(u_i, i \in [0, n]\) egymástól különböző értékek! Az ezekből képzett

\[L_i^n (u) = \dfrac {\prod_{j=0,j\neq i}^n (u - u_j)} {\prod_{j=0,j\neq i}^n (u_i - u_j)}, \quad i = 0, 1, \ldots, n\]

polinomokat \(n\)-ed fokú Lagrange féle interpolációs polinomoknak nevezzük.

Ezek segítségével a Lagrange interpolációs görbét a

\[\textbf{p}(u) = \sum_{i=0}^{n} \textbf{p}_i L_i^n(u)\]

formában is felírhatjuk.

Az \(L_i^n(u)\) értékek így a pontok egy \(u\) paraméter szerinti konvex kombinációját adják, vagyis teljesül, hogy

\[\sum_{i=0}^n L_i^n(u) = 1.\]

A paraméterezéshez használt \(u_i, i \in [0, n]\) pontokban teljesül, hogy \(L_i^n(u_j) = \delta_{ij}\) (Kronecker delta), vagyis

\[\begin{split}L_i^n(u_j) = \begin{cases} 1, & \text{ha } i = j, \\ 0, & \text{egyébként}. \end{cases}\end{split}\]

Megjegyzés

  • Előnye, hogy aránylag könnyen számítható.

  • Tervezésnél problémát okozhat, hogy a görbe csak globálisan vezérelhető.

  • A Lagrange interpolációt ilyen formában nem túl gyakran használják, mert hajlamos oszcillálni.

  • A töröttvonalas közelítés a Lagrange interpoláció egy speciális eseteként is tekinthető.

2.3. Hermit ív

Tegyük fel, hogy két pontot szeretnénk interpolálni úgy, hogy ismertek a görbe végpontjaihoz tartozó érintővektorok.

Jelölje \(\textbf{p}_0\) és \(\textbf{p}_1\) az érintővektorokat, a \(\textbf{t}_0\) és \(\textbf{t}_1\) pedig az ezekhez tartozó érintővektorokat!

A görbét az

\[\textbf{a}(u) = \textbf{a}_0 + \textbf{a}_1 u + \textbf{a}_2 u^2 + \textbf{a}_3 u^3, \quad a \in [0, 1]\]

alakban keressük, amelyre teljesül, hogy

\[\textbf{a}(0) = \textbf{p}_0, \textbf{a}(1) = \textbf{p}_1, \dot{\textbf{a}}(0) = \textbf{t}_0, \dot{\textbf{a}}(1) = \textbf{t}_1.\]

Az ezen feltételek alapján létrejött egyenletrendszer megoldása az együtthatókra:

\[\begin{split}\begin{align} \textbf{a}_0 &= \textbf{p}_0, \\ \textbf{a}_1 &= \textbf{t}_0, \\ \textbf{a}_2 &= 3(\textbf{p}_1 - \textbf{p}_0) - 2\textbf{t}_0 - \textbf{t}_1, \\ \textbf{a}_3 &= -2(\textbf{p}_1 - \textbf{p}_0) + \textbf{t}_0 + \textbf{t}_1. \\ \end{align}\end{split}\]

\(\rhd\) Ellenőrízzük, hogy valóban ez az egyenletrendszer megoldása!

Behelyettesítve és átrendezve:

\[\textbf{a}(u) = (2u^3 - 3u^2 + 1)\textbf{p}_0 + (-2u^3 + 3u^2)\textbf{p}_1 + (u^3 - 2u^2 + u)\textbf{t}_0 + (u^3 - u^2)\textbf{t}_1.\]

A számítást átírhatjuk az

\[\begin{split}\textbf{a}(u) = \begin{bmatrix} u^3 & u^2 & u & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -2 & 1 & 1 \\ -3 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \textbf{p}_0 \\ \textbf{p}_1 \\ \textbf{t}_0 \\ \textbf{t}_1 \\ \end{bmatrix}, u \in [0, 1].\end{split}\]

Ennek az alaknak megvan az a nagy előnye, hogy általában a görbe kirajzolásához azonos végpontok és az irányvektorok mellett kell a számítást több különböző \(u\) értékre meghatározni, amely így egy \(\mathbb{R}^{4 \times 4}\) mátrixszal való szorzást eredményez az \(u\) értékekből számított vektorral.

Az interpolációt felírhatjuk Hermite polinomok segítségével is az

\[\textbf{a}(u) = \textbf{p}_0 H_0^3(u) + \textbf{p}_1 H_1^3(u) + \textbf{t}_0 H_2^3(u) + \textbf{t}_1 H_3^3(u)\]

alakban, melyben a harmadfokú Hermite polinomok

\[\begin{split}\begin{align} H_0^3(u) &= 2u^3 - 3u^2 + 1, \\ H_1^3(u) &= -2u^3 + 3u^2, \\ H_2^3(u) &= u^3 - 2u^2 + u, \\ H_3^3(u) &= u^3 - u^2. \\ \end{align}\end{split}\]

Megjegyzés

  • Az érintővektorok mellett magasabb fokú deriváltakat is megadhatunk. Ekkor az interpolációs polinom fokszáma is nagyobb lesz.

  • Általánosságban Hermite ívnek neveznek minden olyan görbét, melyet a végpontok és az azokban adott valamilyen rendű deriváltak alapján határozunk meg.

2.4. Interpoláló spline-ok

A tervezéshez a Hermite ív esetében megadott 2 interpolációs pont kevés lehet, illetve a Lagrange interpolációnál tapasztalható oszcilláció és globális vezérelhetőség is problémát jelenthet. Érdemes tehát olyan módszereket használni, melynél

  • tetszőleges számú interpolációs pontot használhatunk,

  • meg tudunk maradni a polinomos interpolációnál,

  • a fokszámot alacsonyan tudjuk tartani.

Erre a megoldást az interpoláló spline-ok, mint több, alacsonyabb fokszámú polinomiális ív összekapcsolása jelenti.

Lásd még

2.4.1. Hermite ívek összekapcsolása

Legyenek adottak a \(\textbf{p}_0, \textbf{p}_1, \ldots, \textbf{p}_n\) interpolációs pontok, a hozzájuk rendelt, egymástól különböző \(u_0, u_1, \ldots, u_n\) pontok, továbbá a \(\textbf{t}_0, \textbf{t}_1, \ldots, \textbf{t}_n\) érintővektorok.

Keressük azt a \(\textbf{c}\) görbét, melyre teljesül, hogy

\[\textbf{c}(u_i) = \textbf{p}_i, \dot{\textbf{c}}(u_i) = \textbf{t}_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n.\]

A görbe meghatározása harmadfokú Hermite ívek összekapcsolásával kézenfekvő módon megoldható.

2.4.2. Bessel-féle érintők

Tegyük fel, hogy harmadfokú, egymáshoz folytonosan kapcsolódó ívekből szeretnénk egy spline-t létrehozni, viszont a pontokban az érintővektorokat nem szeretnénk megadni, hanem származtatnánk a csomópontokból. Ezt például a Bessel-féle érintők felhasználásával tehetjük meg.

Tegyük fel, hogy egy \(\textbf{p}_i\) ponthoz tartozó érintőt szeretnénk meghatározni, ahol \(i \in [1, n - 1]\). Illesszünk egy másodfokú görbét ezekre, melynek általános alakja:

\[\textbf{c}_i(u) = \textbf{a}_0 + \textbf{a}_1 u + \textbf{a}_2 u^2.\]

Teljesülnie kell, hogy

\[\begin{split}\begin{align} \textbf{p}_{i-1} &= \textbf{c}_i(u_{i-1}) = \textbf{a}_0 + \textbf{a}_1 u_{i-1} + \textbf{a}_2 u_{i-1}^2, \\ \textbf{p}_{i} &= \textbf{c}_i(u_{i}) = \textbf{a}_0 + \textbf{a}_1 u_{i} + \textbf{a}_2 u_{i}^2, \\ \textbf{p}_{i+1} &= \textbf{c}_i(u_{i+1}) = \textbf{a}_0 + \textbf{a}_1 u_{i+1} + \textbf{a}_2 u_{i+1}^2. \\ \end{align}\end{split}\]

Az összefüggés mátrixos alakban felírva az alábbi:

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1 & u_{i-1} & u_{i-1}^2 \\ 1 & u_{i} & u_{i}^2 \\ 1 & u_{i+1} & u_{i+1}^2 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \textbf{a}_0 \\ \textbf{a}_1 \\ \textbf{a}_2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \textbf{p}_{i-1} \\ \textbf{p}_{i} \\ \textbf{p}_{i+1} \\ \end{bmatrix}.\end{split}\]

Az \(\textbf{a}_0\), \(\textbf{a}_1\) és \(\textbf{a}_2\) együtthatókat így tehát a lineáris egyenletrendszer megoldásaként kapjuk.

Ezek alapján az \(u_i\) paraméterhez tartozó érintőt a

\[\dot{\textbf{c}}(u_i) = \textbf{a}_1 + 2 \textbf{a}_2 u_i\]

számításból kapjuk.

2.4.3. Érintők számítása a szomszédos pontokból

Megtehetjük, hogy egy \(\textbf{p}_i\) ponthoz tartozó érintőt kizárólag a \(\textbf{p}_{i-1}\) és \(\textbf{p}_{i+1}\) pontokból számítunk ki, például az

\[\textbf{t}_i = \dfrac{\textbf{p}_{i+1} - \textbf{p}_{i-1}}{\lVert \textbf{p}_{i+1} - \textbf{p}_{i-1} \rVert}, \quad i = 1, 2, \ldots, n - 1\]

összefüggéssel. A \(\textbf{t}_0\) és \(\textbf{t}_n\) vektorok meghatározásához ekkor más módszert kell alkalmaznunk. (Lehet például Bessel parabola alapján számolni azokat.)

2.4.4. Catmull-Rom spline

A Catmull-Rom spline esetében a \(\textbf{t}_i, i \in [1, n-1]\) érintővektorokat a

\[\textbf{t}_i = \tau (\textbf{p}_{i+1} - \textbf{p}_{i-1})\]

számíthatjuk, ahol \(\tau \in \mathbb{R}, \tau > 0\). A kezdő és a végpont esetében:

\[\textbf{t}_0 = \tau (\textbf{p}_{1} - \textbf{p}_{0}), \quad \textbf{t}_n = \tau (\textbf{p}_{n} - \textbf{p}_{n-1})\]

használható.

Leggyakrabban a \(\tau = 0.5\) paramétert használják hozzá.

2.4.5. Overhauser spline

Az Overhauser spline esetében is csak a \(\textbf{p}_0, \textbf{p}_1, \ldots, \textbf{p}_n\) pontokat, és a hozzájuk tartozó, egymástól különböző \(u_0, u_1, \ldots, u_n\) paraméterértékeket tekintjük ismertnek.

Jelöljük \(\textbf{a}_i\)-vel a \(\textbf{p}_0\) és a \(\textbf{p}_1\) pontok közé tartozó ívet. Ennek a meghatározásához számítsuk ki (az említett két ponthoz tartozó) \(\textbf{c}_i\) és \(\textbf{c}_{i+1}\) Bessel parabolaíveket.

A spline ez esetben tulajdonképpen a két görbe pontonkénti konvex kombinációját számolja \(u\) függvényében változó súlyozással, vagyis:

\[\textbf{a}_i (u) = \left( 1 - \dfrac{u - u_i}{u_{i+1} - u_i} \right) \textbf{c}_i(u) + \dfrac{u - u_i}{u_{i+1} - u_i} \textbf{c}_{i+1}(u),\]

ahol \(u \in [u_i, u_{i+1}], i = 1, 2, \ldots, n - 2\).

A spline első és utolsó ívén közvetlenül a Bessel parabola kerül felhasználásra.

2.4.6. Ferguson spline

Tegyük fel, hogy egy olyan spline-t szeretnénk kapni, amelyik

  • harmadrendű ívekből épül fel, és

  • a csomópontokban másodrendben is folytonosan kapcsolódik (vagyis \(\ddot{\textbf{r}}_{i-1}(u_i) = \ddot{\textbf{r}}_{i}(u_i)\)).

Ezt úgy érhetjük el, hogy ha kiszámítjuk, hogy Hermite ívek esetében milyen érintővektorok lehetnek megfelelőek.

A Hermite ív második deriváltját az \(\ddot{\textbf{r}}(u) = 2 \textbf{a}_2 + 6 \textbf{a}_3(u)\) alakban írhatjuk föl. Ennek az együtthatóit az ívet meghatározó vektorok függvényében ismerjük, vagyis

\[\begin{split}\begin{align} \textbf{a}_2 &= 3(\textbf{p}_1 - \textbf{p}_0) - 2\textbf{t}_0 - \textbf{t}_1, \\ \textbf{a}_3 &= -2(\textbf{p}_1 - \textbf{p}_0) + \textbf{t}_0 + \textbf{t}_1. \\ \end{align}\end{split}\]

A 0 és az 1 itt egyetlen ívhez tartozó indexek, amelyekről ez esetben tudjuk, hogy

  • az \(\ddot{\textbf{r}}_{i-1}(u)\) ív esetében a 0 helyett \((i-1)\), az 1 helyett pedig \(i\) szerepel, míg

  • az \(\ddot{\textbf{r}}_{i}(u)\) ív esetében a 0 helyett \(i\), az 1 helyett pedig \((i+1)\).

Az \(\ddot{\textbf{r}}_{i-1}(u_i) = \ddot{\textbf{r}}_{i}(u_i)\) egyenletbe az előbbieket visszahelyettesítve, majd átrendezve kapjuk, hogy:

\[\textbf{t}_{i-1} + \textbf{t}_{i} + (1 - 3u_i)\textbf{t}_{i+1} = 3\textbf{p}_{i-1} - 6\textbf{p}_{i} + 6\textbf{p}_{i+1} + (-6\textbf{p}_{i-1} + 12\textbf{p}_{i} - 6\textbf{p}_{i+1})u_i.\]

Vegyük észre, hogy a jobb oldalon csak ismert értékek szerepelnek!

Vezessük be a

\[\textbf{q}_i = 3\textbf{p}_{i-1} - 6\textbf{p}_{i} + 6\textbf{p}_{i+1} + (-6\textbf{p}_{i-1} + 12\textbf{p}_{i} - 6\textbf{p}_{i+1})u_i\]

jelölést!

Ezzel így egy \((n+1)\) darab egyenletet és ugyanennyi ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszert kapunk. Hiányoznak viszont belőle az első és utolsó pontra vonatkozó peremfeltételek. Ezek megadására például az alábbi lehetőségek állnak rendelkezésre.

  • Rögzített (clamped): A végpontokban hiányzó érintőket mi magunk megadhatjuk.

  • Természetes (natural): A kezdő és végpontban a görbületet nullának tekinthetjük.

  • Kvadratikus (quadratic): Az első és utolsó ív esetében az ív kezdő és végpontjában a deriváltak megegyeznek.

  • Harmadrendű folytonosság (not-a-knot): Az \(u_1\) és \(u_{n-1}\) paraméterekhez tartozó pontokban feltételezhetünk harmadrendű folytonosságot.

  • Bessel: A kezdő és végpontban a Bessel-féle parabola érintőit használhatjuk.

  • Parabola érintője: Az első és utolsó ívre azok ismert érintőit felhasználva szerkeszthetünk parabolát, melynek érintőjét használhatjuk a végpontok érintőjeként.

2.5. Paraméterezés

A korábbiakban adottnak tekintettük, hogy ismertek az \(u_i\) értékek (legegyszerűbb esetben például \(u_i = i\) formában). Ezek megválasztására azonban különféle lehetőségek vannak, melyeket a következőkben tekintünk át.

2.5.1. Egyenközű paraméterezés

Egyenközű, vagy uniform paraméterezésről beszélünk, hogy ha az \((u_{i+1} - u_i)\) kifejezés egy konstans érték (bármilyen \(i\) esetén).

  • Legegyszerűbb esetben használhatjuk az \(u_i = i\) összefüggést.

  • Hogy ha a görbénkent \(n \in \mathbb{N}\) egyenlő részre bontjuk fel, úgy a paraméterezést megadhatjuk az \(u \in [0, 1]\) intervallumon az \(u_i = i / n, i = 0, 1, \ldots, n\) választással.

A paraméterezési mód előnye, hogy

  • egyszerű,

  • invariáns a pontok affin transzformációjára.

Hátránya, hogy

  • nem veszi számításba az egymást követő pontok távolságát, a távoli pontok között gyorsabban mozog a paraméter, ami kihat a görbület alakjára.

2.5.2. Húrhosszal arányos paraméterezés

Az ívhossz szerinti paraméterezés közelítése. Számítása:

\[u_0 = 0, u_i = u_{i-1} + \dfrac{\lVert \textbf{p}_i - \textbf{p}_{i-1}\rVert}{\sum_{j=1}^{n} \lVert \textbf{p}_j - \textbf{p}_{j-1}\rVert},\]

ahol \(i = 1, 2, \ldots, n\).

Előnye, hogy egyenletesebb sebességű bejárást tesz lehetővé.

2.5.3. Centripetális paraméterezés

Arra törekszünk, hogy a görbe bejárása során a centripetális gyorsulás legyen minél kisebb. Számítása:

\[u_0 = 0, u_i = u_{i-1} + \dfrac{\sqrt{\lVert \textbf{p}_i - \textbf{p}_{i-1}\rVert}}{\sum_{j=1}^{n} \sqrt{\lVert \textbf{p}_j - \textbf{p}_{j-1}\rVert}},\]

ahol \(i = 1, 2, \ldots, n\).

2.5.4. Exponenciális paraméterezés

Egy \(e\)-vel jelölt kitevő segítségével az egyenközű, a húrhosszal arányos és a centripetális paraméterezést egy paraméterezési módban általánosíthatjuk. Számítása:

\[u_0 = 0, u_i = u_{i-1} + \dfrac{\lVert \textbf{p}_i - \textbf{p}_{i-1}\rVert^e}{\sum_{j=1}^{n} \lVert \textbf{p}_j - \textbf{p}_{j-1}\rVert^e},\]

ahol \(e \in [0, 1], i = 1, 2, \ldots, n\).

Láthatjuk, hogy

  • az \(e = 0\) az egyenközű paraméterezés,

  • az \(e = 0.5\) a centripetális paraméterezés,

  • az \(e = 1\) a húrhosszal arányos paraméterezés.

2.6. Kérdések, elméleti feladatok

  • Mi az interpolációs (alap)feladat?

  • Hogyan számítható a Lagrange interpoláció? Melyek az előnyei és hátrányai?

  • Mit nevezünk Hermite ívnek? Hogyan számítható?

  • Melyek a harmadfokú Hermite polinomok?

  • Melyek a spline-ok használatának az előnyei?

  • Hogyan adhatunk meg spline-okat Hermite ívek segítségével?

  • Mit nevezünk Bessel parabolának?

  • Spline-ok esetében hogyan használhatjuk a Bessel parabolákat?

  • Spline-ok esetében hogyan számolhatjuk az érintőket csak a szomszédos pontokat felhasználva?

  • Mi az a Catmull-Rom spline? Hogyan számíthatjuk ki?

  • Mi az az Overhauser spline? Milyen számítások tartoznak hozzá?

  • Mit nevezünk Ferguson spline-nak? Milyen peremfeltételek tartoznak hozzá?

  • Milyen paraméterezési módok állnak rendelkezésre interpolációs spline-ok esetében?

2.7. Számítási feladatok

  • Adott a térben 4 pont, és hozzá 4 paraméterérték. Írjuk fel azt a Lagrange interpolációs görbét, amely ezeken a pontokon áthalad!

  • Adott a síkban 2 pont, és a hozzá tartozó érintővektorok. Írjuk fel az ezek által meghatározott Hermit ívet!

  • Adott 4 pont a síkon. Spline interpolációhoz határozzuk meg Bessel parabolák segítségével az érintő vektorokat!

  • Adott 6 pont a síkon. Határozzuk meg Catmull-Rom spline esetében az ezekhez tartozó érintővektorokat!

  • Adott a síkon 4 pont. Írjuk fel az Overhauser spline-t!

  • Adott a síkon 6 pont. Határozzuk meg a húrhosszal arányos paraméterezést!

2.8. Programozási feladatok

2.8.1. Keretrendszer összerakása

  • Vizsgáljuk meg, hogy milyen API-k jöhetnek szóba a preferált programozási nyelvhez!

  • Készítsünk egy keretrendszert, amelyben a kontrollpontokat lehet mozgatni!

  • Nézzük meg példaként a https://gitlab.com/imre-piller/me-courses repositoriban szereplő keretrendszereket!

2.8.2. Lagrange interpoláció

  • Írjuk fel a Lagrange interpolációs polinomokat másod- és harmadfokú polinomokra!

  • Ábrázoljuk azokat \(u\) paraméter függvényében!

  • Készítsünk egy programot, amelyben 4 pontot lehet mozgatni, és kirajzolásra kerül a hozzájuk tartozó Lagrange interpolációs görbe!

2.8.3. Hermite ív

  • Ábrázoljuk a harmadfokú Hermite polinomokat!

  • Készítsünk egy programot, amelyben meg lehet adni 2 pontot, a hozzájuk tartozó érintőket, és megjelenítésre kerül ezek alapján a Hermite ív!

2.8.4. Bessel parabola

  • Készítsünk egy programot, amely 3 pontra meghatározza a hozzájuk tartozó Bessel parabolát!

  • Jelenítsük is meg a parabolát!

  • Jelenítessük meg a középső ponthoz tartozó érintőt!

  • Készítsünk egy programot, amely a Bessel érintők alapján állít össze Hermite ívekből egy spline-t! (Használjunk hozzá legalább 4 pontot!)

  • Definiáljunk egy spline-t, amely a Bessel-féle parabolák helyett a 3 pontra írható körök alapján számítja ki a pontbeli érintőket!

2.8.5. Érintők számítása a szomszédos pontokból

  • Jelenítsük meg, hogy ilyen érintőket kapunk, hogy ha azokat a szomszédos pontok alapján határozzuk meg!

  • Ezek alapján rajzoljuk meg Hermite ívekből a spline-t!

2.8.6. Catmull-Rom spline

  • Számítsuk ki, és jeleníttessük meg a Catmull-Rom spline-t!

  • Vizsgáljuk meg a \(\tau\) paraméter hatását!

2.8.7. Overhauser spline

  • Egy spline pontjaihoz jeleníttessük meg a Bessel parabolákat!

  • Ezek alapján rajzoljuk meg az Overhauser spline-t!

2.8.8. Paraméterezési módok

  • Implementáljuk a különféle paraméterezési módokat, és vizsgáljuk meg a hatásukat!