1. Számrendszerek, számábrázolás¶

Elemi műveletek¶

Alsó- és felsőegészrész függvények:

\[\lfloor x \rfloor = \max_{k \leq x, k \in \mathbb{Z}} k, \quad \lceil x \rceil = \min_{k \geq x, k \in \mathbb{Z}} k,\]

Kerekítés és törtrész függvények:

\[\text{Round}(x) = \left\lfloor x + \dfrac{1}{2} \right\rfloor, \quad \{x\} = x - \lfloor x \rfloor\]

Egész hányados képzése (div):

\[a \text{ div } b = \left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor, \quad b \neq 0,\]

Egész maradék képzése (mod):

\[\begin{split}a \text{ mod } b = \begin{cases} a, & b = 0 \\ a - \left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor \cdot b, & b \neq 0. \\ \end{cases}, \quad a \text{ mod } 1 = \{a\}\end{split}\]

Megjegyzés

Mi ezen függvényeknek az értelmezési tartománya és az értékkészlete?

Számítsuk ki a következő értékeket!

\(\lceil 4.4 \rceil\), \(\lfloor -10.3 \rfloor\), \(\left\lfloor \dfrac{7}{6} \right\rfloor\), \(\left\lceil -\dfrac{51}{4} \right\rceil\),
\(\text{Round}\left(-4.8\right)\), \(\text{Round}\left(11\right)\), \(\text{Round}\left(\dfrac{23}{2}\right)\), \(\text{Round}\left(3.2\right)\), \(\text{Round}\left(-8.5\right)\)
\(\left\{ \dfrac{30}{7} \right\}\), \(\{0.95\}\), \(\{-7.18\}\), \(\{\pi\}\), \(\{-\pi\}\)
\(41 \text{ div } 3\), \(41 \text{ div } 22\), \(972 \text{ mod } -17\), \(-593 \text{ mod } 61\)
\(50 \text{ div } 9\), \(-50 \text{ div } 9\), \(50 \text{ div } (-9)\), \(-50 \text{ div } (-9)\)
\(50 \text{ mod } 9\), \(-50 \text{ mod } 9\), \(50 \text{ mod } (-9)\), \(-50 \text{ mod } (-9)\)

Ábrázoljuk a következő függvényeket!

\(f(x) = \{\sqrt{x}\}\)
\(f(x) = \text{Round}(\sin(x))\)
\(f(x, y) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \;|\; \{x\} + \{y\} = 0.5\}\)
\(f(x, y) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \;|\; \lfloor x \rfloor > \lceil y \rceil\}\)

Egész számok ábrázolása¶

Váltsuk át a 139-et kettes számrendszerbe!
Ellenőrízzük a számítást helyiértékes formában és Horner sémával!
Írjuk fel a 3825-öt 2, 3, 4, 7, 9, 13, 16-os számrendszerekben!

Számjegyek számáról szóló tétel¶

\[n + 1 = \left\lfloor \log_b x \right\rfloor + 1\]

A tétel segítségével ellenőrízzük, hogy a 3825 mennyi számjegyből fog állni a különböző számrendszerekben!
Mennyi számjegyből fog állni a 8182331 szám 7-es számrendszerben?

Orosz paraszt módszer¶

Orosz paraszt módszerrel szorozzuk össze a 65 és 61 számokat!

szorzandó	szorzó	páratlan?	szorzat
65	51	igen	0+65=65
130	25	igen	65+130=195
260	12	nem	195
520	6	nem	195
1040	3	igen	195+1040=1235
2080	1	igen	1235+2080=3315

Hogyan működik az algoritmus?
Hogyan érdemes implementálni a szorzást számítógépen?

Kettes komplemens¶

Ábrázoljuk a -50, -1896, -1, 127, -128 számokat kettes komplemens ábrázolási móddal!
A -1896 értékhez adjunk hozzá 3825-öt, úgy hogy kettes számrendszerben számítjuk ki az összeget!

Törtek átírása¶

Írjuk át a 0.73438, -0.10546875, 0.953125 törteket kettes számrendszerbe!
Írjuk át a 0.7, 0.175, 9.11 törteket kettes számrendszerbe!

Egyszeres lebegőpontos ábrázolás¶

Ábrázoljuk a 4440.46875 számot az egyszeres lebegőpontos szabvány szerint!
Ábrázoljuk a -0.3 értéket!
Milyen értéket ábrázolnak egyszeres pontosság esetén az 12340000 illetve az FE820000 bájtok?
Ábrázoljuk a \(\pm 0\) értékeket egyszeres lebegőpontos ábrázolással!
Adjunk példát denormalizált számra, és nem számra!
Összesen mennyi féle értéket tudunk ábrázolni egyszeres, és kétszeres pontosság esetén?